Równanie 2/(x² − x) + 1 = (x + 3)/(x − 1) - wyraz bez ułamka

Krok 1. Rozkład i dziedzina. $x^2 - x = x(x - 1)$. Mianowniki wykluczają $x = 0$ i $x = 1$:

$D = \mathbb{R} \setminus \{0,\ 1\}$

Wspólny mianownik to $x(x - 1)$.

Krok 2. Mnożymy każdy wyraz przez $x(x - 1)$ - także jedynkę, która nie stoi w ułamku:

$2 + x(x - 1) = x(x + 3)$

Krok 3. Porządkujemy. Wyrazy $x^2$ po obu stronach się redukują:

$2 + x^2 - x = x^2 + 3x \quad\Longrightarrow\quad 2 = 4x \quad\Longrightarrow\quad x = \dfrac{1}{2}$

Krok 4. Dziedzina i sprawdzenie. $\frac{1}{2} \in D$. Dla $x = \frac{1}{2}$: $x^2 - x = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$, więc lewa strona to $2 : \left(-\frac{1}{4}\right) + 1 = -8 + 1 = -7$. Prawa strona: $\frac{3{,}5}{-0{,}5} = -7$.

Odpowiedź. $x = \dfrac{1}{2}$.

Uwaga: kto pominie jedynkę przy mnożeniu (zapisze $2 + 1 = x(x + 3)$), dostanie równanie kwadratowe $x^2 + 3x - 3 = 0$ o niewymiernych pierwiastkach - żaden z nich nie spełnia równania wyjściowego.