Równanie 3/(x − 2) − x/(x + 2) = 12/(x² − 4) - odrzucanie rozwiązania

Krok 1. Rozkład i dziedzina. $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, więc wspólnym mianownikiem jest $(x-2)(x+2)$, a

$D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$

Krok 2. Mnożymy każdy wyraz przez $(x-2)(x+2)$:

$3(x + 2) - x(x - 2) = 12$

Krok 3. Porządkujemy. Minus przed drugim iloczynem zmienia znaki obu wyrazów:

$3x + 6 - x^2 + 2x = 12 \quad\Longrightarrow\quad -x^2 + 5x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 5x + 6 = 0$

Krok 4. Rozwiązujemy.

$(x - 2)(x - 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2 \ \text{ lub } \ x = 3$

Krok 5. Dziedzina. $x = 2 \notin D$ - odrzucamy. Zostaje $x = 3$. Sprawdzenie: $\ \frac{3}{1} - \frac{3}{5} = \frac{12}{5}$ oraz $\frac{12}{9 - 4} = \frac{12}{5}$.

Odpowiedź. $x = 3$.

Uwaga: liczba $2$ spełnia równanie po pomnożeniu, ale w równaniu wyjściowym daje $\frac{3}{0}$ - to rozwiązanie „dorobione” przez mnożenie przez wyrażenie, które może być zerem.