Podstawienie: (x² + 1)/x + 3x/(x² + 1) = 4

Krok 1. Dziedzina. Mianownik $x^2 + 1$ jest zawsze dodatni, więc wyklucza tylko $x = 0$:

$D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Krok 2. Podstawienie. Drugi ułamek to trzykrotność odwrotności pierwszego. Niech $t = \frac{x^2 + 1}{x}$ (wtedy $t \neq 0$, bo $x^2 + 1 > 0$). Równanie przyjmuje postać

$t + \dfrac{3}{t} = 4$

Krok 3. Równanie z $t$. Mnożymy przez $t \neq 0$:

$t^2 - 4t + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (t - 1)(t - 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 1 \ \text{ lub } \ t = 3$

Krok 4. Powrót do $x$, przypadek $t = 1$.

$\dfrac{x^2+1}{x} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x + 1 = 0, \qquad \Delta = 1 - 4 = -3 < 0$

Ten przypadek nie daje rozwiązań.

Krok 5. Powrót do $x$, przypadek $t = 3$.

$\dfrac{x^2+1}{x} = 3 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 3x + 1 = 0, \qquad \Delta = 9 - 4 = 5$

$x = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{lub} \quad x = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Obie liczby są dodatnie, więc należą do dziedziny.

Krok 6. Sprawdzenie. Dla obu liczb $x^2 + 1 = 3x$, więc pierwszy ułamek to $\frac{3x}{x} = 3$, a drugi $\frac{3x}{3x} = 1$. Suma: $3 + 1 = 4$.

Odpowiedź. $x \in \left\{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2},\ \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}\right\}$.

Uwaga: dwa rozwiązania równania z $t$ nie oznaczają dwóch (ani czterech) rozwiązań równania z $x$. Każdą wartość $t$ trzeba sprawdzić osobno - tutaj $t = 1$ odpada, bo dla $x > 0$ zachodzi $x + \frac{1}{x} \geq 2$, a dla $x < 0$ wyrażenie jest ujemne.