Funkcja f(x) = a·cos(bx) + c o okresie 4π, wartościach od −1 do 5 i f(0) = −1

Krok 1. $b$ z okresu. $\frac{2\pi}{b} = 4\pi$, więc $b = \frac{1}{2}$.

Krok 2. $c$ i $|a|$ ze zbioru wartości. Zbiór wartości to $\langle c - |a|;\ c + |a|\rangle = \langle -1;\ 5\rangle$:

$c = \frac{-1 + 5}{2} = 2, \qquad |a| = \frac{5 - (-1)}{2} = 3.$

Krok 3. Znak $a$ z warunku $f(0) = -1$. $f(0) = a\cos 0 + c = a + 2$. Z $a + 2 = -1$ mamy $a = -3$. Cosinus w zerze ma maksimum, a tu funkcja ma w zerze minimum - stąd minus.

Krok 4. b) Wartości. $f(x) = -3\cos\frac{x}{2} + 2$:

$f(\pi) = -3\cos\frac{\pi}{2} + 2 = 2, \qquad f(2\pi) = -3\cos\pi + 2 = 5.$

Krok 5. c) Równanie. $-3\cos\frac{x}{2} + 2 = \frac{1}{2}$, czyli $\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$. Dla $x \in \langle 0;\ 4\pi\rangle$ argument $\frac{x}{2}$ przebiega przedział $\langle 0;\ 2\pi\rangle$, a tam cosinus jest równy $\frac{1}{2}$ dla $\frac{\pi}{3}$ i $\frac{5\pi}{3}$:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} \ \Rightarrow\ x = \frac{2\pi}{3}, \qquad \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{3} \ \Rightarrow\ x = \frac{10\pi}{3}.$

Odpowiedź. a) $a = -3$, $b = \frac{1}{2}$, $c = 2$; b) $f(\pi) = 2$, $f(2\pi) = 5$; c) $x \in \left\{ \frac{2\pi}{3},\ \frac{10\pi}{3} \right\}$.

Sprawdzenie sensu: przedział $\langle 0;\ 4\pi\rangle$ to dokładnie jeden okres, a w jednym okresie prosta $y = \frac{1}{2}$ (między minimum $-1$ a maksimum $5$) przecina wykres dwa razy.