Diabelski młyn o średnicy 40 m - wzór wysokości h(t) i czas powyżej 35 m

Szkoła średnia trudne

Koło diabelskiego młyna ma średnicę $40$ m, a jego oś znajduje się $25$ m nad ziemią. Koło obraca się ze stałą prędkością i wykonuje pełny obrót w ciągu $8$ minut. Pasażer wsiada do gondoli w jej najniższym położeniu w chwili $t = 0$ .

a) Wyznacz wzór funkcji $h(t)$ opisującej wysokość gondoli (w metrach) po $t$ minutach jazdy, w postaci $h(t) = D - A\cos(Bt)$ , gdzie $A > 0$ , $B > 0$ .

b) Jak długo podczas jednego obrotu gondola znajduje się wyżej niż $35$ m nad ziemią?

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Oś fali i amplituda. Gondola krąży wokół osi na wysokości $25$ m w odległości promienia $20$ m, więc $D = 25$ , $A = 20$ . Najniżej jest na $5$ m, najwyżej na $45$ m.

Krok 2. Okres. Jeden obrót to $8$ min: $\frac{2\pi}{B} = 8$ , czyli $B = \frac{\pi}{4}$ .

Krok 3. Sprawdzenie warunku startowego. $h(0) = 25 - 20\cos 0 = 5$ - gondola startuje w najniższym punkcie, zgodnie z treścią. Dlatego we wzorze jest minus cosinus.

Krok 4. b) Nierówność. Szukamy $t \in \langle 0;\ 8\rangle$ , dla których

$25 - 20\cos\frac{\pi t}{4} > 35 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos\frac{\pi t}{4} < -\frac{1}{2}.$

Krok 5. Rozwiązujemy względem argumentu. Argument $u = \frac{\pi t}{4}$ przebiega przedział $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ . Cosinus jest mniejszy od $-\frac{1}{2}$ między kątami $\frac{2\pi}{3}$ i $\frac{4\pi}{3}$ (tam, gdzie punkt na okręgu jednostkowym leży na lewo od prostej $x = -\frac{1}{2}$ ):

$\frac{2\pi}{3} < \frac{\pi t}{4} < \frac{4\pi}{3} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{8}{3} < t < \frac{16}{3}.$

Wysokość gondoli h(t) = 25 − 20cos(πt/4) przez jeden obrót (8 min). Powyżej 35 m gondola jest dla t ∈ (8/3; 16/3), czyli przez 8/3 min = 2 min 40 s.

Krok 6. Długość przedziału. $\frac{16}{3} - \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$ min $= 2$ min $40$ s.

Odpowiedź. a) $h(t) = 25 - 20\cos\frac{\pi t}{4}$ ; b) przez $\frac{8}{3}$ minuty, czyli $2$ minuty $40$ sekund (od $t = 2\frac{2}{3}$ do $t = 5\frac{1}{3}$ min).

Kontrola zdrowego rozsądku: $35$ m to połowa drogi między osią ( $25$ m) a szczytem ( $45$ m), a nad tą wysokością gondola jest przez jedną trzecią obrotu - kąt $\frac{2\pi}{3}$ z $2\pi$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →