Funkcja f(x) = tg(2x − π/3) - okres, dziedzina, asymptoty i miejsca zerowe

Krok 1. a) Okres. Tangens ma okres $\pi$, więc $f$ ma okres $T = \frac{\pi}{|B|} = \frac{\pi}{2}$.

Krok 2. b) Dziedzina. Tangens nie istnieje, gdy argument jest równy $\frac{\pi}{2} + k\pi$:

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad\Longleftrightarrow\quad 2x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}.$

Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} : k \in \mathbb{Z} \right\}$, a proste $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$ są asymptotami pionowymi.

Krok 3. c) Miejsca zerowe. $\operatorname{tg} u = 0$ dla $u = k\pi$:

$2x - \frac{\pi}{3} = k\pi \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 4. d) Przedział $\langle 0;\ \pi\rangle$. Asymptoty: $k = 0$ daje $\frac{5\pi}{12}$, $k = 1$ daje $\frac{11\pi}{12}$, $k = 2$ daje $\frac{17\pi}{12} > \pi$. Miejsca zerowe: $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{2\pi}{3}$. Dodatkowo $f(0) = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$.

Odpowiedź. a) $T = \frac{\pi}{2}$; b) $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} : k \in \mathbb{Z} \right\}$, asymptoty $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$; c) $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$; d) w przedziale $\langle 0;\ \pi\rangle$ są dwie asymptoty: $x = \frac{5\pi}{12}$ i $x = \frac{11\pi}{12}$.

Kontrola: dla zwykłego $\operatorname{tg} x$ miejsce zerowe $0$ i asymptota $\frac{\pi}{2}$ są odległe o połowę okresu. Tu też: $\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$, czyli połowa okresu $\frac{\pi}{2}$.