Wektor przesunięcia wykresu y = sin 3x na y = sin(3x − π/2) + 2

Przesunięcie o wektor $\vec{v} = [p,\ q]$ zamienia wykres $y = f(x)$ na wykres $y = f(x - p) + q$. Trzeba więc zapisać nowy wzór w postaci, w której od samego $x$ odejmujemy liczbę - czyli wyłączyć współczynnik przy $x$ przed nawias.

Krok 1. a) Wyłączamy trójkę.

$3x - \frac{\pi}{2} = 3\left(x - \frac{\pi}{6}\right), \qquad g(x) = \sin\left(3\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 2 = f\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2.$

Krok 2. a) Odczytujemy wektor. $p = \frac{\pi}{6}$ (w prawo), $q = 2$ (w górę), więc $\vec{v} = \left[\frac{\pi}{6},\ 2\right]$.

Krok 3. b) Wyłączamy dwójkę.

$\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = \cos\left(2\left(x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right).$

Przesunięcie poziome wynosi $-\frac{\pi}{6}$ - czyli o $\frac{\pi}{6}$ w lewo - a pionowego nie ma.

Krok 4. Sprawdzenie a). Funkcja $f$ ma miejsce zerowe $x = 0$ (argument $3x = 0$). Funkcja $g - 2$ powinna mieć je w $x = \frac{\pi}{6}$: $3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = 0$. Zgadza się.

Odpowiedź. a) $\vec{v} = \left[\frac{\pi}{6},\ 2\right]$; b) $\vec{v} = \left[-\frac{\pi}{6},\ 0\right]$.

Pułapka: odpowiedź $\left[\frac{\pi}{2},\ 2\right]$ w a) bierze przesunięcie z nawiasu bez dzielenia przez $3$. Taki wektor zamieniłby $\sin 3x$ na $\sin\left(3x - \frac{3\pi}{2}\right) + 2$, a to inna funkcja.