Wykres funkcji f(x) = 2cos(2x − π/3) + 1 - pięć punktów i ekstrema

Krok 1. Parametry. $A = 2$, $B = 2$, $D = 1$: amplituda $2$, okres $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$, oś fali $y = 1$, zbiór wartości $\langle -1;\ 3\rangle$.

Krok 2. Pięć punktów. Cosinus zaczyna okres w maksimum, gdy argument jest zerem: $2x - \frac{\pi}{3} = 0$, czyli $x = \frac{\pi}{6}$. Okres $\pi$ dzielimy na cztery części po $\frac{\pi}{4}$:

Krok 3. b) Ekstrema. Wartość największa $3$, gdy $\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 1$:

$2x - \frac{\pi}{3} = 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{6} + k\pi.$

Wartość najmniejsza $-1$, gdy $\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -1$:

$2x - \frac{\pi}{3} = \pi + 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2\pi}{3} + k\pi.$

Krok 4. c) Miejsca zerowe. $2\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 0$, czyli $\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$:

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi,$

$x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{lub} \quad x = -\frac{\pi}{6} + k\pi.$

W przedziale $\langle 0;\ \pi\rangle$: $\frac{\pi}{2}$ (z $k = 0$) i $-\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$.

Odpowiedź. b) $f_{\max} = 3$ dla $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$, $f_{\min} = -1$ dla $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$; c) $x = \frac{\pi}{2}$ i $x = \frac{5\pi}{6}$.

Uwaga: punkty $\frac{5\pi}{12}$ i $\frac{11\pi}{12}$ z tabeli nie są miejscami zerowymi - tam wykres przecina oś fali $y = 1$, a nie oś $OX$. Miejsca zerowe leżą niżej, między osią fali a minimum.