Styczna nachylona do osi Ox pod kątem 135° - i czy istnieje styczna pod kątem 120°

Krok 1. Kąt a pochodna. Współczynnik kierunkowy stycznej to tangens jej kąta nachylenia do osi $Ox$, a jednocześnie wartość pochodnej w punkcie styczności: $\operatorname{tg} \alpha = f'(x_0)$.

Krok 2. Pochodna.

$$f'(x) = x^2 - 2x.$$

Krok 3. Część a). $\operatorname{tg} 135^\circ = -1$, więc szukamy $x_0$, dla którego $f'(x_0) = -1$:

$$x_0^2 - 2x_0 = -1 \iff x_0^2 - 2x_0 + 1 = 0 \iff (x_0 - 1)^2 = 0 \iff x_0 = 1.$$

Jest dokładnie jeden taki punkt. $f(1) = \frac{1}{3} - 1 + 2 = \frac{4}{3}$, więc

$$y = -1 \cdot (x - 1) + \frac{4}{3} = -x + \frac{7}{3}.$$

Krok 4. Część b). $\operatorname{tg} 120^\circ = -\sqrt{3}$. Potrzebny byłby punkt, w którym $f'(x_0) = -\sqrt{3}$. Zapiszmy pochodną w postaci kanonicznej:

$$f'(x) = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \geq -1.$$

Pochodna nigdy nie jest mniejsza od $-1$, a $-\sqrt{3} \approx -1{,}73 < -1$. Równanie $f'(x_0) = -\sqrt{3}$ nie ma rozwiązań (równoważnie: $x^2 - 2x + \sqrt{3} = 0$ ma wyróżnik $\Delta = 4 - 4\sqrt{3} < 0$).

Krok 5. Interpretacja. Najmniejszy możliwy współczynnik stycznej to $-1$, czyli najbardziej „opadająca” styczna tworzy z osią $Ox$ kąt $135^\circ$ - to właśnie styczna z części a). Styczne o kątach z przedziału $(90^\circ;\ 135^\circ)$, w tym $120^\circ$, nie istnieją.

Odpowiedź. a) $y = -x + \frac{7}{3}$ (punkt styczności $\left(1, \frac{4}{3}\right)$). b) Nie - pochodna przyjmuje tylko wartości $f'(x) \geq -1$, a $\operatorname{tg} 120^\circ = -\sqrt{3} < -1$.