Styczne poziome do wykresu wielomianu trzeciego stopnia

Krok 1. Warunek. Prosta równoległa do osi $Ox$ jest pozioma, czyli ma współczynnik kierunkowy $0$. Styczna w punkcie $x_0$ ma współczynnik $f'(x_0)$, więc szukamy wszystkich $x_0$, dla których $f'(x_0) = 0$.

Krok 2. Pochodna i jej miejsca zerowe.

$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3).$$

Pochodna zeruje się dla $x_0 = 1$ i $x_0 = 3$ - są dwa punkty styczności.

Krok 3. Wartości funkcji.

$$f(1) = 1 - 6 + 9 - 1 = 3, \qquad f(3) = 27 - 54 + 27 - 1 = -1.$$

Krok 4. Równania stycznych. Ze wzoru $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ przy $f'(x_0) = 0$ zostaje $y = f(x_0)$:

$$x_0 = 1: \quad y = 3, \qquad x_0 = 3: \quad y = -1.$$

Krok 5. Sprawdzenie. Prosta $y = 3$ ma z wykresem punkt wspólny $(1, 3)$: $x^3 - 6x^2 + 9x - 1 = 3 \iff x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0 \iff (x - 1)^2(x - 4) = 0$. Pierwiastek podwójny $x = 1$ potwierdza styczność (a w $x = 4$ prosta przecina wykres - styczna nie musi mieć z wykresem tylko jednego punktu wspólnego).

Odpowiedź. $y = 3$ (punkt styczności $(1, 3)$) oraz $y = -1$ (punkt styczności $(3, -1)$).