Styczne do wykresu funkcji homograficznej prostopadłe do prostej 3x + y − 2 = 0

Krok 1. Współczynnik danej prostej. Z równania $3x + y - 2 = 0$ mamy $y = -3x + 2$, więc współczynnik kierunkowy to $-3$.

Krok 2. Współczynnik stycznej. Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$:

$$f'(x_0) \cdot (-3) = -1 \quad\Longrightarrow\quad f'(x_0) = \frac{1}{3}.$$

Krok 3. Pochodna. Dziedzina: $x \neq -1$. Ze wzoru na pochodną ilorazu:

$$f'(x) = \frac{2(x + 1) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}.$$

Krok 4. Punkty styczności.

$$\frac{3}{(x_0 + 1)^2} = \frac{1}{3} \iff (x_0 + 1)^2 = 9,$$

$$x_0 + 1 = 3 \quad \text{lub} \quad x_0 + 1 = -3.$$

Zatem $x_0 = 2$ lub $x_0 = -4$ - oba należą do dziedziny.

Krok 5. Wartości funkcji.

$$f(2) = \frac{4 - 1}{3} = 1, \qquad f(-4) = \frac{-8 - 1}{-3} = 3.$$

Krok 6. Równania stycznych.

$$x_0 = 2: \quad y = \frac{1}{3}(x - 2) + 1 = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3},$$

$$x_0 = -4: \quad y = \frac{1}{3}(x + 4) + 3 = \frac{1}{3}x + \frac{13}{3}.$$

Krok 7. Sprawdzenie. Obie proste mają współczynnik $\frac{1}{3}$, a $\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1$. Pierwsza przechodzi przez $(2, 1)$: $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$, druga przez $(-4, 3)$: $-\frac{4}{3} + \frac{13}{3} = 3$. Dwie styczne leżą na dwóch różnych gałęziach hiperboli - to typowe, bo $f'(x)$ przyjmuje każdą wartość dodatnią w dwóch punktach symetrycznych względem $x = -1$.

Odpowiedź. $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ oraz $y = \frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$.