Odczytywanie granic funkcji z wykresu - dziura, skok i wierzchołek

Krok 1. Jak czytać wykres. Granica w punkcie $x_0$ to wysokość, do której zmierza wykres, gdy idziemy w stronę $x_0$ z lewej i z prawej. Pełna kropka oznacza punkt należący do wykresu (stąd odczytujemy wartość), puste kółko - punkt, którego na wykresie nie ma. Dla granicy ani jedno, ani drugie nie ma znaczenia.

Krok 2. Punkt $-2$. Łuk paraboli przechodzi tu bez przerwy - to jego wierzchołek na wysokości $3$. Z obu stron zmierzamy do $3$, a punkt $(-2, 3)$ należy do wykresu. Zatem $\lim\limits_{x \to -2} f(x) = 3$ i $f(-2) = 3$.

Krok 3. Punkt $3$. Prosta ma w punkcie $(3, 1)$ puste kółko: z lewej i z prawej wykres zmierza do wysokości $1$. Wartość funkcji wskazuje pełna kropka nad nim: $f(3) = 3$. Zatem $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 1$, choć $f(3) = 3$ - granica i wartość są różne.

Krok 4. Punkt $1$. Z lewej strony łuk paraboli kończy się pustym kółkiem na wysokości $0$, więc wartości $f(x)$ dla $x < 1$ zmierzają do $0$. Z prawej strony prosta zaczyna się pełną kropką na wysokości $-1$, więc wartości dla $x > 1$ zmierzają do $-1$. Z dwóch stron wartości dążą do różnych liczb, dlatego granica w punkcie $1$ nie istnieje (mimo że $f(1) = -1$).

Odpowiedź. a) $\lim\limits_{x \to -2} f(x) = 3$, $f(-2) = 3$; b) $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 1$, $f(3) = 3$; c) nie istnieje - z lewej wartości zmierzają do $0$, z prawej do $-1$.

Pułapka: w b) łatwo podać $3$, bo tam stoi pełna kropka. Granica nie zależy jednak od wartości w samym punkcie, tylko od tego, dokąd prowadzi wykres.