Największy przychód ze sprzedaży biletów

Szkoła średnia średnie

Bilet na koncert kosztuje $40$ zł i przy tej cenie kupuje go $300$ osób. Organizator oszacował, że każda obniżka ceny o $2$ zł przyciągnie dodatkowe $50$ osób. Przy jakiej cenie biletu przychód będzie największy?

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenie. Niech $x$ - liczba obniżek po $2$ zł, $x \ge 0$ .

Krok 2. Wielkości przez $x$ . Cena biletu: $40 - 2x$ zł. Liczba widzów: $300 + 50x$ .

Krok 3. Funkcja przychodu.

$R(x) = (40 - 2x)(300 + 50x) = 12000 + 2000x - 600x - 100x^2 = -100x^2 + 1400x + 12000.$

Krok 4. Wierzchołek. Współczynnik $a = -100 < 0$ , więc szukamy wartości największej:

$p = \frac{-1400}{2 \cdot (-100)} = 7, \qquad R(7) = -4900 + 9800 + 12000 = 16900.$

Krok 5. Wracamy do pytania. Siedem obniżek po $2$ zł oznacza cenę

$40 - 2 \cdot 7 = 26 \ \text{zł},$

a liczba widzów wyniesie $300 + 350 = 650$ .

Sprawdzenie. $26 \cdot 650 = 16900$ zł. Zgadza się.

Odpowiedź. Największy przychód, $16\,900$ zł, organizator osiągnie przy cenie $26$ zł za bilet.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →