Przekątne trapezu dzielą się w stosunku podstaw - podstawy 15 i 6, odcinek przez punkt przecięcia

Krok 1. Trójkąty podobne. Trójkąty $ABS$ i $CDS$ mają równe kąty: $\angle ASB = \angle CSD$ (wierzchołkowe) oraz $\angle BAS = \angle DCS$ (naprzemianległe przy równoległych $AB$ i $CD$). Są więc podobne w skali

$$k = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}.$$

Krok 2. Punkt a). Każda przekątna dzieli się w stosunku $5 : 2$, czyli na $7$ równych części, z których $5$ leży przy dłuższej podstawie:

$$|AS| = \frac{5}{7} \cdot 14 = 10, \qquad |SC| = \frac{2}{7} \cdot 14 = 4,$$

$$|BS| = \frac{5}{7} \cdot 21 = 15, \qquad |SD| = \frac{2}{7} \cdot 21 = 6.$$

Krok 3. Odcinek $ES$. Trójkąty $DES$ i $DAB$ są podobne ($ES \parallel AB$), a $\frac{|DS|}{|DB|} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$:

$$|ES| = \frac{2}{7} \cdot |AB| = \frac{2}{7} \cdot 15 = \frac{30}{7}.$$

Krok 4. Odcinek $SF$. Analogicznie trójkąty $CSF$ i $CAB$, w których $\frac{|CS|}{|CA|} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$:

$$|SF| = \frac{2}{7} \cdot 15 = \frac{30}{7}.$$

Punkt $S$ jest więc środkiem odcinka $EF$.

Krok 5. Punkt b).

$$|EF| = \frac{30}{7} + \frac{30}{7} = \frac{60}{7} \approx 8{,}57.$$

To zawsze $\frac{2ab}{a + b}$ - średnia harmoniczna podstaw: $\frac{2 \cdot 15 \cdot 6}{21} = \frac{60}{7}$. Uwaga: to nie jest linia środkowa $\frac{15 + 6}{2} = 10{,}5$ - odcinek przez $S$ leży bliżej krótszej podstawy i jest krótszy.

Odpowiedź. a) $|AS| = 10$, $|SC| = 4$, $|BS| = 15$, $|SD| = 6$. b) $|EF| = \frac{60}{7}$.