Cztery liczby o danej dominancie, medianie i średniej

Krok 1. Oznaczenia. Uporządkujmy liczby: $a \le b \le c \le d$.

Krok 2. Ze średniej - suma:

$$a + b + c + d = 4 \cdot 5 = 20.$$

Krok 3. Z mediany. Liczb jest cztery, więc mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\frac{b + c}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad b + c = 8.$$

Krok 4. Z dominanty. Liczba $3$ ma występować częściej niż każda inna, więc pojawia się co najmniej dwa razy. Gdyby wystąpiła trzy razy, byłoby $b = c = 3$ i mediana wynosiłaby $3$, a nie $4$. Zatem $3$ występuje dokładnie dwa razy. Nie może to być para $b = c = 3$ (mediana $3$), a skoro dane są uporządkowane, a $b \le 4 \le c$, to dwie trójki stoją na początku: $a = b = 3$.

Krok 5. Pozostałe liczby. Z kroku 3: $c = 8 - 3 = 5$. Z kroku 2: $d = 20 - 3 - 3 - 5 = 9$.

Krok 6. Sprawdzenie: liczby $3, 3, 5, 9$ - dominanta $3$ (jedyna liczba powtórzona), mediana $\frac{3 + 5}{2} = 4$, średnia $\frac{20}{4} = 5$.

Odpowiedź. Szukane liczby to $3, 3, 5, 9$.