Całe ramię czy odcinek? Najczęstsza pomyłka w proporcji

Krok 1. Dwie poprawne postacie proporcji. Twierdzenie Talesa można zapisać na dwa sposoby i oba są prawdziwe - byle nie mieszać ich ze sobą:

$\underbrace{\frac{SA}{SB} = \frac{SC}{SD}}_{\text{całe ramiona}} \qquad \text{oraz} \qquad \underbrace{\frac{SA}{AB} = \frac{SC}{CD}}_{\text{odcinki}}$

Kluczowa zasada: po obu stronach równości muszą wystąpić odcinki mierzone tak samo - albo obie od wierzchołka, albo obie jako kawałki między punktami.

Krok 2. Korzystamy z postaci z całymi ramionami, bo znamy $SA$, $SB$ i $SC$:

$\frac{5}{12} = \frac{10}{SD} \quad\Longrightarrow\quad 5 \cdot SD = 120 \quad\Longrightarrow\quad SD = 24.$

Krok 3. Obliczamy $CD$. Punkt $C$ leży między $S$ a $D$, więc

$CD = SD - SC = 24 - 10 = 14.$

Krok 4. Sprawdzenie drugą postacią. Policzmy $AB = SB - SA = 12 - 5 = 7$ i podstawmy do proporcji z odcinkami:

$\frac{SA}{AB} = \frac{5}{7}, \qquad \frac{SC}{CD} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}.$

Obie postacie dają ten sam wynik, więc rachunek jest poprawny.

Najczęstszy błąd. Zapisanie mieszanej proporcji

$\frac{SA}{AB} = \frac{SC}{SD} \qquad \text{(ŹLE)}$

daje $\tfrac{5}{7} = \tfrac{10}{SD}$, czyli $SD = 14$ - a to jest długość odcinka $CD$, nie $SD$. Błąd łatwo przeoczyć, bo wynik wygląda sensownie. Zabezpieczenie: zanim rozwiążesz proporcję, sprawdź, czy po obu stronach odcinki są mierzone od tego samego miejsca.

Odpowiedź. $SD = 24$ oraz $CD = 14$.