Sinus, cosinus i tangens z boków trójkąta 5, 12, 13

Szkoła średnia łatwe

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątne mają długości $BC = 5$ i $AC = 12$ , a przeciwprostokątna $AB = 13$ . Kąt $\alpha$ leży przy wierzchołku $A$ .

Trójkąt prostokątny o bokach 5, 12 i 13; kąt α przy wierzchołku A.

Oblicz $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ , $\operatorname{tg}\alpha$ oraz $\operatorname{ctg}\alpha$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Ustalamy położenie boków względem kąta $\alpha$ . Naprzeciw kąta $\alpha$ leży przyprostokątna $BC = 5$ , przy kącie $\alpha$ - przyprostokątna $AC = 12$ , a przeciwprostokątna to $AB = 13$ .

Krok 2. Sinus i cosinus dzielą przyprostokątną przez przeciwprostokątną:

$\sin\alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}, \qquad \cos\alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}.$

Krok 3. Tangens i cotangens to stosunki przyprostokątnych:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{5}.$

Krok 4. Sprawdzenie jedynką trygonometryczną:

$\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{25 + 144}{169} = \frac{169}{169} = 1.$

Odpowiedź. $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ , $\cos\alpha = \frac{12}{13}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac{5}{12}$ , $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{12}{5}$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →