Kąty między przekątną a bokami prostokąta - sinus i cosinus

Krok 1. Przekątna. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $6$ i $8$:

$d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10.$

Krok 2. Kąt $\alpha$ (przy dłuższym boku). W trójkącie z kątem $\alpha$ przyprostokątna przy kącie to dłuższy bok $8$, a naprzeciw kąta leży krótszy bok $6$:

$\sin\alpha = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \qquad \cos\alpha = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.$

Krok 3. Kąt $\beta$ (przy krótszym boku). Tym razem przy kącie leży bok $6$, a naprzeciw bok $8$:

$\sin\beta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}, \qquad \cos\beta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.$

Krok 4. Związek. Kąt prostokąta ma $90^\circ$, więc $\alpha + \beta = 90^\circ$ - kąty są dopełniające. Dlatego $\sin\beta = \cos\alpha$ i $\cos\beta = \sin\alpha$, zgodnie ze wzorem $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.

Odpowiedź. a) $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$. b) $\sin\beta = \frac{4}{5}$, $\cos\beta = \frac{3}{5}$ - sinus kąta $\beta$ równa się cosinusowi kąta $\alpha$ i odwrotnie, bo $\alpha + \beta = 90^\circ$.