Nierówność (1/2)^(x² − 4) ≥ 8 - wykładnik kwadratowy

Krok 1. Prawa strona przez podstawę $\frac{1}{2}$. $8 = 2^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 4} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$

Krok 2. Zmiana zwrotu. Podstawa $\frac{1}{2} < 1$ - funkcja malejąca:

$x^2 - 4 \le -3 \quad\Longrightarrow\quad x^2 \le 1$

Krok 3. Nierówność kwadratowa. $x^2 - 1 \le 0$, czyli $(x - 1)(x + 1) \le 0$. Parabola o ramionach w górę jest niedodatnia między miejscami zerowymi, łącznie z nimi:

$-1 \le x \le 1$

Pułapka: zapis $x \le 1$ zamiast $-1 \le x \le 1$ - „pierwiastkowanie” nierówności $x^2 \le 1$ gubi ujemne rozwiązania i przepuszcza np. $x = -5$, które jej nie spełnia.

Krok 4. Sprawdzenie. $x = 0$: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 16 \ge 8$ - spełnia. $x = 1$: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8$ - równość, spełnia. $x = 2$: $\left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 < 8$ - nie spełnia.

Odpowiedź. $x \in [-1, 1]$.