Komisja z co najmniej dwoma matematykami i co najmniej jednym fizykiem

Krok 1. Jakie składy są dozwolone. Komisja ma $5$ osób. Jeśli matematyków jest $m$, to fizyków jest $5 - m$. Warunki: $m \ge 2$ oraz $5 - m \ge 1$, czyli $m \le 4$. Zostają trzy rozłączne przypadki: $m = 2$, $m = 3$, $m = 4$.

Krok 2. Liczymy każdy przypadek regułą mnożenia.

• $2$ matematyków i $3$ fizyków: $\binom{7}{2} \cdot \binom{5}{3} = 21 \cdot 10 = 210$,
• $3$ matematyków i $2$ fizyków: $\binom{7}{3} \cdot \binom{5}{2} = 35 \cdot 10 = 350$,
• $4$ matematyków i $1$ fizyk: $\binom{7}{4} \cdot \binom{5}{1} = 35 \cdot 5 = 175$.

Krok 3. Reguła dodawania. Przypadki się nie pokrywają (komisja ma określoną liczbę matematyków), więc

$$210 + 350 + 175 = 735.$$

Krok 4. Sprawdzenie przez dopełnienie. Wszystkich komisji jest $\binom{12}{5} = 792$. Odrzucamy te, które łamią któryś warunek:

• $5$ matematyków, $0$ fizyków: $\binom{7}{5} = 21$,
• $1$ matematyk, $4$ fizyków: $7 \cdot \binom{5}{4} = 35$,
• $0$ matematyków, $5$ fizyków: $\binom{5}{5} = 1$.

$$792 - 21 - 35 - 1 = 735.$$

Częsty błąd. „Najpierw wybieram dwóch matematyków i jednego fizyka, żeby warunki były spełnione, a resztę dobieram dowolnie”: $\binom{7}{2} \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{9}{2} = 3780$. Wynik jest za duży, bo tę samą komisję da się w ten sposób otrzymać na kilka sposobów - zależnie od tego, którzy matematycy byli „obowiązkowi”, a którzy „dobrani”.

Odpowiedź. Komisję można wybrać na $735$ sposobów.