Światło pod wodą: każdy metr pochłania 15%, na jakiej głębokości zostaje 1%?

Krok 1. Model. Po każdym metrze zostaje $85\%$ światła. Jeśli $I_0$ to natężenie przy powierzchni, to na głębokości $d$ metrów

$I(d) = I_0 \cdot 0{,}85^{d}$

Krok 2. Głębokość 5 m i 10 m.

$\frac{I(5)}{I_0} = 0{,}85^{5} \approx 0{,}4437, \qquad \frac{I(10)}{I_0} = 0{,}85^{10} \approx 0{,}1969$

Na $5$ m dociera około $44{,}4\%$ światła, na $10$ m - około $19{,}7\%$. Na dwa razy większej głębokości nie zostaje dwa razy mniej, tylko kwadrat ułamka: $0{,}4437^2 \approx 0{,}1969$.

Krok 3. Nierówność.

$0{,}85^{d} < 0{,}01$

Krok 4. Logarytmujemy. $\log 0{,}85 < 0$, więc dzieląc przez nie, zmieniamy zwrot:

$d \cdot \log 0{,}85 < \log 0{,}01 \quad\Longrightarrow\quad d > \frac{-2}{\log 0{,}85} \approx \frac{-2}{-0{,}07058} \approx 28{,}3$

Sprawdzenie: $0{,}85^{28} \approx 0{,}0106$, $0{,}85^{29} \approx 0{,}0090$.

Odpowiedź. a) Około $44{,}4\%$ na głębokości $5$ m i około $19{,}7\%$ na $10$ m. b) Poniżej głębokości około $28{,}3$ m.