Rozkład na czynniki: różnica sześcianów (27x³ − 8)

Krok 1. Zapisujemy składniki jako sześciany. Oba wyrazy są sześcianami, a między nimi znak minus - to różnica sześcianów $a^3 - b^3$:

$27x^3 = (3x)^3, \qquad 8 = 2^3,$

więc $a = 3x$ oraz $b = 2$.

Krok 2. Przypominamy wzór. Różnicę sześcianów rozkładamy tak:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$

W nawiasie kwadratowym jest pojedynczy iloczyn $ab$ (nie podwojony) - to częste źródło pomyłek.

Krok 3. Podstawiamy $a = 3x$, $b = 2$:

$27x^3 - 8 = (3x - 2)\big((3x)^2 + 3x \cdot 2 + 2^2\big) = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4).$

Trójmianu $9x^2 + 6x + 4$ nie da się dalej rozłożyć (jego wyróżnik jest ujemny).

Odpowiedź. $27x^3 - 8 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4).$