Kąt nachylenia tworzącej stożka do podstawy - objętość i pole z cos α

Krok 1. Trójkąt prostokątny. Kąt nachylenia tworzącej do podstawy to kąt między tworzącą a promieniem poprowadzonym do jej końca. W trójkącie o bokach $r$, $H$, $l$ promień leży przy kącie $\alpha$, a wysokość naprzeciw niego.

Krok 2. Promień.

$$\cos\alpha = \frac{r}{l} \quad\Longrightarrow\quad r = 15 \cdot 0{,}6 = 9.$$

Krok 3. Wysokość. Z twierdzenia Pitagorasa (albo z $\sin\alpha = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8$):

$$H = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12.$$

Krok 4. Objętość i pole.

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 81 \cdot 12 = 324\pi, \qquad P_c = \pi r^2 + \pi r l = 81\pi + 135\pi = 216\pi.$$

Odpowiedź. $V = 324\pi$, $P_c = 216\pi$.

Kąt nachylenia tworzącej i kąt rozwarcia stożka omawia lekcja stożek; kąt rozwarcia to tutaj $180^\circ - 2\alpha$.