Równanie 2ˣ + 2⁻ˣ = 5/2 - potęga i jej odwrotność

Krok 1. Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność.

$2^{-x} = \frac{1}{2^x}$

Krok 2. Podstawienie. Niech $t = 2^x$, $t > 0$:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Krok 3. Pozbycie się ułamków. Mnożymy obie strony przez $2t$ (wolno, bo $t > 0$, więc $2t \ne 0$):

$2t^2 + 2 = 5t \quad\Longrightarrow\quad 2t^2 - 5t + 2 = 0$

Krok 4. Równanie kwadratowe. $\Delta = 25 - 16 = 9$, $\sqrt{\Delta} = 3$:

$t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}, \qquad t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$

Oba są dodatnie.

Krok 5. Powrót do $x$.

$2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1} \quad\Longrightarrow\quad x = -1, \qquad 2^x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 1$

To, że rozwiązania są liczbami przeciwnymi, nie jest przypadkiem: lewa strona się nie zmienia, gdy $x$ zastąpimy przez $-x$, więc jeśli $x$ jest rozwiązaniem, to $-x$ też.

Krok 6. Sprawdzenie. $x = 1$: $2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. $x = -1$: $\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

Odpowiedź. $x = -1$ lub $x = 1$.