Wykaż, że środki boków czworokąta tworzą równoległobok (twierdzenie Varignona)

Krok 1. Założenie i teza. Założenie: $K$, $L$, $M$, $N$ to środki kolejnych boków czworokąta $ABCD$. Teza: $KLMN$ jest równoległobokiem oraz $|KL| + |LM| + |MN| + |NK| = |AC| + |BD|$.

Krok 2. Narzędzie. Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie (twierdzenie o odcinku łączącym środki boków). Przekątna $AC$ dzieli czworokąt na trójkąty $ABC$ i $ACD$ - zastosujemy to twierdzenie w każdym z nich.

Krok 3. Trójkąt $ABC$. Punkty $K$ i $L$ są środkami boków $AB$ i $BC$, więc

$KL \parallel AC, \qquad |KL| = \tfrac{1}{2}|AC|.$

Krok 4. Trójkąt $ACD$. Punkty $N$ i $M$ są środkami boków $AD$ i $CD$, więc

$NM \parallel AC, \qquad |NM| = \tfrac{1}{2}|AC|.$

Krok 5. Równoległobok. Odcinki $KL$ i $NM$ są równoległe (oba do $AC$) i równej długości. Czworokąt, w którym jedna para przeciwległych boków jest równoległa i równa, jest równoległobokiem. Zatem $KLMN$ jest równoległobokiem.

Krok 6. Obwód. Tak samo w trójkątach $BCD$ i $ABD$ (przekątna $BD$) dostajemy $|LM| = |KN| = \frac{1}{2}|BD|$. Stąd

$|KL| + |LM| + |MN| + |NK| = \tfrac{1}{2}|AC| + \tfrac{1}{2}|BD| + \tfrac{1}{2}|AC| + \tfrac{1}{2}|BD| = |AC| + |BD|. \quad \blacksquare$

Sprawdzenie na liczbach. Dla $A = (0, 0)$, $B = (8, 0)$, $C = (9, 5)$, $D = (2, 6)$ środki to $K = (4; 0)$, $L = (8{,}5; 2{,}5)$, $M = (5{,}5; 5{,}5)$, $N = (1; 3)$. Wektory $\overrightarrow{KL} = [4{,}5; 2{,}5]$ i $\overrightarrow{NM} = [4{,}5; 2{,}5]$ są równe, a $\overrightarrow{AC} = [9; 5]$ jest dwa razy dłuższy.

Częsty błąd: uznać, że $KLMN$ jest rombem albo prostokątem. Romb wychodzi tylko wtedy, gdy przekątne $ABCD$ są równe, a prostokąt - gdy są prostopadłe.

Odpowiedź. Boki $KL$ i $NM$ są równoległe do przekątnej $AC$ i równe jej połowie, więc $KLMN$ jest równoległobokiem; jego obwód wynosi $|AC| + |BD|$.