Wykaż, że w każdy deltoid można wpisać okrąg

Krok 1. Założenie i teza. Założenie: $ABCD$ jest (wypukłym) deltoidem, $|AB| = |AD|$, $|CB| = |CD|$. Teza: istnieje punkt jednakowo odległy od wszystkich czterech boków - środek okręgu stycznego do każdego z nich.

Krok 2. Przekątna $AC$ jest dwusieczną kątów $A$ i $C$. Trójkąty $ABC$ i $ADC$ mają $|AB| = |AD|$, $|CB| = |CD|$ i wspólny bok $AC$, więc są przystające (cecha bbb). Stąd $|\angle BAC| = |\angle DAC|$ i $|\angle BCA| = |\angle DCA|$.

Krok 3. Punkt $O$. Niech dwusieczna kąta $B$ przetnie przekątną $AC$ w punkcie $O$ (przetnie ją, bo kąt $B$ jest kątem wypukłego czworokąta, a odcinek $AC$ łączy punkty leżące na jego ramionach po dwóch stronach dwusiecznej).

Krok 4. Odległości od boków. Punkt leżący na dwusiecznej kąta jest jednakowo odległy od jego ramion.

• $O$ leży na dwusiecznej kąta $A$, więc $d(O, AB) = d(O, AD)$.
• $O$ leży na dwusiecznej kąta $B$, więc $d(O, AB) = d(O, BC)$.
• $O$ leży na dwusiecznej kąta $C$, więc $d(O, BC) = d(O, CD)$.

Wszystkie cztery odległości są równe; oznaczmy je $r$.

Krok 5. Wniosek. Okrąg o środku $O$ i promieniu $r$ jest styczny do każdego boku deltoidu, czyli jest w niego wpisany. $\blacksquare$

Drugi sposób - warunek na bokach. W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe. W deltoidzie

$|AB| + |CD| = |AD| + |CB|,$

bo po lewej i po prawej stoją te same długości: $|AB| = |AD|$ oraz $|CD| = |CB|$.

Uwaga: założenie o wypukłości jest potrzebne. „Deltoid wklęsły” (grot strzałki) ma równe sumy boków, ale okręgu stycznego do wszystkich czterech boków (odcinków) nie ma.

Odpowiedź. Przekątna $AC$ jest dwusieczną kątów $A$ i $C$, więc punkt jej przecięcia z dwusieczną kąta $B$ jest jednakowo odległy od wszystkich boków - to środek okręgu wpisanego w deltoid.