Czworokąt wpisany w okrąg o prostopadłych przekątnych - wykaż, że AB² + CD² = 4R²

Krok 1. Założenie i teza. Założenie: $A$, $B$, $C$, $D$ leżą na okręgu o promieniu $R$, przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie $S$. Teza: $|AB|^2 + |CD|^2 = 4R^2$.

Krok 2. Cięciwa z twierdzenia sinusów. Trójkąt $ABD$ jest wpisany w ten sam okrąg, więc z twierdzenia sinusów $\frac{|AB|}{\sin|\angle ADB|} = 2R$. Tak samo w trójkącie $ACD$: $\frac{|CD|}{\sin|\angle CAD|} = 2R$. Oznaczmy $\alpha = |\angle ADB|$ i $\beta = |\angle CAD|$:

$|AB| = 2R\sin\alpha, \qquad |CD| = 2R\sin\beta.$

Krok 3. Związek między kątami. Punkt $S$ leży na obu przekątnych, więc $\alpha = |\angle SDA|$ i $\beta = |\angle SAD|$ - to dwa kąty ostre trójkąta $ASD$. Ten trójkąt ma kąt prosty przy $S$, zatem

$\alpha + \beta = 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \sin\beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha.$

Krok 4. Jedynka trygonometryczna.

$|AB|^2 + |CD|^2 = 4R^2\sin^2\alpha + 4R^2\cos^2\alpha = 4R^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 4R^2. \quad \blacksquare$

Krok 5. Druga para boków. Przekątne są prostopadłe, więc (patrz poprzednie zadanie) $|BC|^2 + |DA|^2 = |AB|^2 + |CD|^2$ - też $4R^2$.

Sprawdzenie na liczbach. Okrąg $x^2 + y^2 = 25$ ($R = 5$), przekątne na prostych $y = 1$ i $x = 2$: $A = (-\sqrt{24}, 1)$, $C = (\sqrt{24}, 1)$, $B = (2, -\sqrt{21})$, $D = (2, \sqrt{21})$. Wtedy

$|AB|^2 = 50 + 4\sqrt{24} + 2\sqrt{21}, \qquad |CD|^2 = 50 - 4\sqrt{24} - 2\sqrt{21},$

i suma wynosi $100 = 4 \cdot 25$. W kwadracie o boku $a$ mamy $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, więc $4R^2 = 2a^2 = a^2 + a^2$ - też się zgadza.

Pułapka: kąty $\alpha$ i $\beta$ trzeba wybrać tak, żeby oba leżały w jednym trójkącie prostokątnym ($ASD$). Dla kątów $ADB$ i $ACD$ suma na ogół nie wynosi $90^\circ$.

Odpowiedź. $|AB| = 2R\sin\alpha$ i $|CD| = 2R\cos\alpha$, gdzie $\alpha = |\angle ADB|$, więc $|AB|^2 + |CD|^2 = 4R^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 4R^2$.