Czworokąt o prostopadłych przekątnych - wykaż, że AB² + CD² = BC² + DA²

Krok 1. Założenie i teza. Założenie: $AC \perp BD$, przekątne przecinają się w punkcie $S$ (w czworokącie wypukłym leży on wewnątrz obu przekątnych). Teza: $|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |DA|^2$.

Krok 2. Oznaczenia. Niech $|AS| = p$, $|BS| = q$, $|CS| = r$, $|DS| = s$. Przekątne są prostopadłe, więc trójkąty $ASB$, $BSC$, $CSD$ i $DSA$ są prostokątne z kątem prostym przy wierzchołku $S$.

Krok 3. Cztery razy twierdzenie Pitagorasa.

$|AB|^2 = p^2 + q^2, \quad |BC|^2 = q^2 + r^2, \quad |CD|^2 = r^2 + s^2, \quad |DA|^2 = s^2 + p^2.$

Krok 4. Sumy przeciwległych boków.

$|AB|^2 + |CD|^2 = p^2 + q^2 + r^2 + s^2, \qquad |BC|^2 + |DA|^2 = q^2 + r^2 + s^2 + p^2.$

Prawe strony są identyczne, więc $|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |DA|^2$. $\blacksquare$

Sprawdzenie na liczbach. Dla $p = 5$, $q = 3$, $r = 3$, $s = 4$ (rysunek): $|AB|^2 + |CD|^2 = 34 + 25 = 59$ oraz $|BC|^2 + |DA|^2 = 18 + 41 = 59$.

Wnioski. Przekątne są prostopadłe w każdym rombie, kwadracie i deltoidzie, więc ta równość zachodzi w każdej z tych figur. Dla rombu jest oczywista (wszystkie boki równe), dla deltoidu też (po obu stronach stoi $|AB|^2 + |CB|^2$) - ciekawa staje się dopiero dla czworokątów bez symetrii, jak ten na rysunku. Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeśli sumy kwadratów przeciwległych boków są równe, to przekątne są prostopadłe.

Częsty błąd: napisać $|AB|^2 = |AS|^2 + |SB|^2$ bez uzasadnienia, że kąt $ASB$ jest prosty. Bez założenia o prostopadłości przekątnych równość na ogół nie zachodzi - w prostokącie $3 \times 4$ mamy $9 + 9 \ne 16 + 16$.

Odpowiedź. Każdy bok jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych będących odcinkami przekątnych, więc obie sumy są równe $p^2 + q^2 + r^2 + s^2$.