Czworokąt wpisany w okrąg i dwie sieczne - wykaż, że |PA| · |PB| = |PD| · |PC|

Krok 1. Założenie i teza. Założenie: $A$, $B$, $C$, $D$ leżą na okręgu, $P$ leży na przedłużeniach boków $BA$ i $CD$. Teza: $\triangle PAD \sim \triangle PCB$ i $|PA| \cdot |PB| = |PD| \cdot |PC|$.

Krok 2. Kąt przy $A$. Punkty $P$, $A$, $B$ leżą na jednej prostej, a $A$ jest między nimi, więc kąty $PAD$ i $DAB$ są przyległe:

$|\angle PAD| = 180^\circ - |\angle DAB|.$

Krok 3. Czworokąt wpisany. W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przeciwległe sumują się do $180^\circ$, więc $|\angle DAB| + |\angle BCD| = 180^\circ$, czyli

$|\angle PAD| = |\angle BCD| = |\angle PCB|.$

Ostatnia równość zachodzi, bo $D$ leży na odcinku $PC$ - ramię $CD$ to to samo ramię co $CP$.

Krok 4. Cecha kąt-kąt. Trójkąty $PAD$ i $PCB$ mają wspólny kąt przy wierzchołku $P$ i równe kąty $PAD$ oraz $PCB$. Są więc podobne, z odpowiedniością wierzchołków $P \to P$, $A \to C$, $D \to B$:

$\triangle PAD \sim \triangle PCB.$

Krok 5. Proporcja. Odpowiadające boki są proporcjonalne:

$\frac{|PA|}{|PC|} = \frac{|PD|}{|PB|} \quad\Longrightarrow\quad |PA| \cdot |PB| = |PD| \cdot |PC|. \quad \blacksquare$

Przykład. Jeśli $|PA| = 4$, $|PB| = 9$ i $|PD| = 3$, to $|PC| = \frac{4 \cdot 9}{3} = 12$.

Pułapka: odpowiedniość wierzchołków. Trójkąt $PAD$ nie jest podobny do $PBC$ w kolejności $A \to B$, $D \to C$ - kąt przy $A$ odpowiada kątowi przy $C$, a nie przy $B$. Źle dobrana kolejność daje fałszywą proporcję $\frac{|PA|}{|PB|} = \frac{|PD|}{|PC|}$.

Odpowiedź. Kąt $PAD$ jest przyległy do kąta $DAB$, więc równy kątowi $BCD$; z cechy kąt-kąt $\triangle PAD \sim \triangle PCB$, skąd $|PA| \cdot |PB| = |PD| \cdot |PC|$.