Trapez równoramienny opisany na okręgu - wykaż, że h² = ab

Krok 1. Założenie i teza. Założenie: $|AD| = |BC| = c$, $AB \parallel CD$, w trapez można wpisać okrąg. Teza: $h^2 = ab$ oraz $r = \frac{\sqrt{ab}}{2}$.

Krok 2. Ramię z warunku na czworokąt opisany. W czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe: $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$, czyli

$a + b = 2c \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{a + b}{2}.$

Krok 3. Odcinek przy podstawie. Opuszczamy wysokość $DE$ na podstawę $AB$. W trapezie równoramiennym wysokości z obu końców krótszej podstawy odcinają po bokach dwa równe odcinki, więc

$|AE| = \frac{a - b}{2}.$

Krok 4. Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $AED$.

$h^2 = c^2 - |AE|^2 = \frac{(a + b)^2}{4} - \frac{(a - b)^2}{4} = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4}.$

Krok 5. Wzór skróconego mnożenia. $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$, zatem

$h^2 = \frac{4ab}{4} = ab.$

Krok 6. Promień. Okrąg jest styczny do obu podstaw, a podstawy są równoległe, więc odległość między nimi - wysokość trapezu - jest średnicą okręgu: $h = 2r$. Stąd

$r = \frac{h}{2} = \frac{\sqrt{ab}}{2}. \quad \blacksquare$

Sprawdzenie na liczbach. Dla $a = 16$ i $b = 4$: ramię $c = 10$, odcinek $|AE| = 6$, $h = \sqrt{100 - 36} = 8$ i rzeczywiście $8^2 = 64 = 16 \cdot 4$; promień $r = 4$.

Wysokość jest więc średnią geometryczną podstaw, a ramię - ich średnią arytmetyczną. Nierówność $\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$ mówi wtedy po prostu, że ramię nie jest krótsze od wysokości.

Odpowiedź. Z warunku $a + b = 2c$ i twierdzenia Pitagorasa wynika $h^2 = c^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 = ab$, a ponieważ wysokość jest średnicą okręgu, $r = \frac{\sqrt{ab}}{2}$.