Czworokąt opisany na okręgu - wykaż, że kąty AOB i COD sumują się do 180°

Krok 1. Założenie i teza. Założenie: każdy bok czworokąta $ABCD$ jest styczny do okręgu o środku $O$. Kąty czworokąta oznaczamy $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ (przy $A$, $B$, $C$, $D$). Teza: $|\angle AOB| + |\angle COD| = 180^\circ$.

Krok 2. $O$ leży na dwusiecznych. Okrąg jest styczny do obu ramion kąta $A$, więc jego środek jest jednakowo odległy od prostych $AB$ i $AD$ (odległość to promień). Punkt wewnątrz kąta jednakowo odległy od ramion leży na dwusiecznej, zatem

$|\angle OAB| = \frac{\alpha}{2}, \quad |\angle OBA| = \frac{\beta}{2}, \quad |\angle OCD| = \frac{\gamma}{2}, \quad |\angle ODC| = \frac{\delta}{2}.$

Krok 3. Trójkąty $AOB$ i $COD$. Suma kątów trójkąta to $180^\circ$:

$|\angle AOB| = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}, \qquad |\angle COD| = 180^\circ - \frac{\gamma + \delta}{2}.$

Krok 4. Dodajemy. Suma kątów czworokąta wynosi $360^\circ$, więc

$|\angle AOB| + |\angle COD| = 360^\circ - \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2} = 360^\circ - \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ. \quad \blacksquare$

Sprawdzenie na liczbach. Jeśli czworokąt ma kąty $\alpha = 100^\circ$, $\beta = 80^\circ$, $\gamma = 90^\circ$, $\delta = 90^\circ$, to $|\angle AOB| = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ i $|\angle COD| = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ - razem $180^\circ$.

Tym samym rachunkiem $|\angle BOC| + |\angle DOA| = 180^\circ$. Wszystkie cztery kąty przy $O$ dają razem $360^\circ$ - to też dobra kontrola.

Szczególny przypadek. Gdy $ABCD$ jest trapezem o podstawach $AB$ i $CD$, kąty przy ramieniu $BC$ sumują się do $180^\circ$, więc $|\angle BOC| = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ - ramię trapezu opisanego widać ze środka okręgu pod kątem prostym.

Odpowiedź. Środek okręgu leży na dwusiecznych kątów czworokąta, więc $|\angle AOB| + |\angle COD| = 360^\circ - \frac{1}{2}(\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 180^\circ$.