Ile wyrazów ciągu aₙ = n² − 10n + 16 jest ujemnych?

Szukamy numerów $n$, dla których $a_n < 0$. To nierówność kwadratowa z niewiadomą $n$ - na końcu zostawiamy tylko liczby naturalne dodatnie.

Krok 1. Miejsca zerowe trójmianu.

$n^2 - 10n + 16 = 0, \qquad \Delta = 100 - 64 = 36, \qquad n = \frac{10 - 6}{2} = 2 \ \text{ lub } \ n = \frac{10 + 6}{2} = 8$

Krok 2. Rozwiązanie nierówności. Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc trójmian jest ujemny między pierwiastkami:

$n^2 - 10n + 16 < 0 \iff (n - 2)(n - 8) < 0 \iff n \in (2, 8)$

Krok 3. Liczby naturalne z przedziału. Przedział jest otwarty, więc $2$ i $8$ odpadają. Zostają $n = 3, 4, 5, 6, 7$:

$a_3 = -5, \quad a_4 = -8, \quad a_5 = -9, \quad a_6 = -8, \quad a_7 = -5$

Odpowiedź. Ujemnych wyrazów jest pięć: $a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$.

Uwaga: wyrazy $a_2$ i $a_8$ są równe zeru, a zero nie jest liczbą ujemną. Z kolei wszystkie wyrazy od $a_9$ są dodatnie, więc lista jest kompletna - wyrazów ujemnych nie ma „gdzieś dalej”.