Ciąg okresowy a₁ = 1, a₂ = 2, aₙ₊₂ = aₙ₊₁ − aₙ: oblicz a₁₀₀ i a₂₀₂₆

Krok 1. Kolejne wyrazy. Każdy wyraz to poprzedni minus przedpoprzedni:

$a_3 = 2 - 1 = 1, \quad a_4 = 1 - 2 = -1, \quad a_5 = -1 - 1 = -2, \quad a_6 = -2 - (-1) = -1$

$a_7 = -1 - (-2) = 1, \quad a_8 = 1 - (-1) = 2$

Krok 2. Okres. Para $(a_7, a_8) = (1, 2)$ jest taka sama jak $(a_1, a_2)$. Każdy wyraz zależy tylko od dwóch poprzednich, więc od tego miejsca wszystko się powtarza: ciąg jest okresowy o okresie 6:

$1,\ 2,\ 1,\ -1,\ -2,\ -1,\ \ 1,\ 2,\ 1,\ -1,\ -2,\ -1,\ \dots$

Zatem $a_n = a_k$, gdzie $k$ to reszta z dzielenia $n$ przez $6$ (a gdy reszta wynosi $0$, $k = 6$).

Krok 3. Wyrazy $a_{100}$ i $a_{2026}$.

$100 = 6 \cdot 16 + 4$, więc $a_{100} = a_4 = -1$.

$2026 = 6 \cdot 337 + 4$, więc $a_{2026} = a_4 = -1$.

Krok 4. Suma stu wyrazów. Suma jednego pełnego okresu: $1 + 2 + 1 - 1 - 2 - 1 = 0$. Sto wyrazów to $16$ pełnych okresów ($96$ wyrazów) i jeszcze cztery:

$a_1 + \ldots + a_{100} = 16 \cdot 0 + (a_{97} + a_{98} + a_{99} + a_{100}) = 1 + 2 + 1 - 1 = 3$

Odpowiedź. a) $1, 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2$; b) $a_{100} = -1$, $a_{2026} = -1$; c) suma wynosi $3$.

Wyrazy od $a_{97}$ do $a_{100}$ mają te same wartości co $a_1, \dots, a_4$, bo $97 = 6 \cdot 16 + 1$.