Ciąg aₙ = (n + 4)/(2n − 1): wyrazy i który wyraz jest równy 1

Krok 1. Wyrazy (część a). Podstawiamy numery za $n$ - zarówno w liczniku, jak i w mianowniku:

$a_1 = \frac{1 + 4}{2 - 1} = 5, \qquad a_2 = \frac{2 + 4}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

$a_3 = \frac{3 + 4}{6 - 1} = \frac{7}{5}, \qquad a_7 = \frac{7 + 4}{14 - 1} = \frac{11}{13}$

Krok 2. Równanie (część b). Szukamy $n \in \mathbb{N}_+$, dla którego $a_n = 1$. Mianownik $2n - 1$ jest dodatni dla każdego $n \geq 1$, więc wolno pomnożyć przez niego obie strony:

$\frac{n + 4}{2n - 1} = 1 \iff n + 4 = 2n - 1 \iff n = 5$

Krok 3. Czy to numer wyrazu? $5$ jest liczbą naturalną dodatnią, więc odpowiedź istnieje. Sprawdzenie: $a_5 = \frac{5 + 4}{10 - 1} = \frac{9}{9} = 1$.

Odpowiedź. a) $a_1 = 5$, $a_2 = 2$, $a_3 = \frac{7}{5}$, $a_7 = \frac{11}{13}$; b) równy $1$ jest wyraz piąty: $a_5 = 1$.