Ciąg rekurencyjny a₁ = 3, aₙ₊₁ = 2aₙ − 1: wyrazy i wzór ogólny

Krok 1. Wyrazy po kolei. Każdy następny wyraz liczymy z poprzedniego:

$a_2 = 2 \cdot 3 - 1 = 5, \quad a_3 = 2 \cdot 5 - 1 = 9, \quad a_4 = 2 \cdot 9 - 1 = 17, \quad a_5 = 2 \cdot 17 - 1 = 33$

Wyrazy $3, 5, 9, 17, 33$ są o $1$ większe od kolejnych potęg dwójki: $2, 4, 8, 16, 32$.

Krok 2. Sprawdzenie wzoru. Wzór $a_n = 2^n + 1$ opisuje ciąg, jeśli daje właściwy pierwszy wyraz i spełnia regułę rekurencyjną.

• Pierwszy wyraz: $2^1 + 1 = 3 = a_1$.
• Reguła: jeśli $a_n = 2^n + 1$, to

$2a_n - 1 = 2(2^n + 1) - 1 = 2^{n+1} + 2 - 1 = 2^{n+1} + 1$

czyli dokładnie to, co wzór daje dla numeru $n + 1$. Każdy kolejny wyraz liczony z reguły jest więc zgodny ze wzorem (to rozumowanie indukcyjne).

Krok 3. Wyraz dziesiąty. Ze wzoru ogólnego nie trzeba liczyć wyrazów pośrednich:

$a_{10} = 2^{10} + 1 = 1024 + 1 = 1025$

Odpowiedź. a) $3, 5, 9, 17, 33$; b) $a_n = 2^n + 1$, $a_{10} = 1025$.

Sam zgadnięty wzór, zgodny z pięcioma wyrazami, nie wystarcza - dopiero sprawdzenie reguły w kroku 2 przesądza, że pasuje do wszystkich wyrazów.