Ile wyrazów ciągu aₙ = (3n + 20)/n jest liczbami całkowitymi?

Krok 1. Rozdzielamy ułamek. Dzielimy każdy składnik licznika przez $n$:

$a_n = \frac{3n}{n} + \frac{20}{n} = 3 + \frac{20}{n}$

Krok 2. Warunek całkowitości. Liczba $3$ jest całkowita, więc $a_n$ jest całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy całkowite jest $\frac{20}{n}$, czyli gdy $n$ jest dzielnikiem liczby $20$. Dzielniki naturalne liczby $20$:

$1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 10,\ 20$

Krok 3. Wyrazy.

$a_1 = 23, \quad a_2 = 13, \quad a_4 = 8, \quad a_5 = 7, \quad a_{10} = 5, \quad a_{20} = 4$

Dla $n > 20$ mamy $0 < \frac{20}{n} < 1$, więc $3 < a_n < 4$ - żaden dalszy wyraz nie jest całkowity.

Odpowiedź. Sześć wyrazów: $a_1 = 23$, $a_2 = 13$, $a_4 = 8$, $a_5 = 7$, $a_{10} = 5$, $a_{20} = 4$.

Uwaga: nie wystarczy sprawdzić kilku pierwszych wyrazów - łatwo przeoczyć $a_{20}$. Rozkład na „część całkowitą + ułamek” zamienia zadanie na szukanie dzielników, co daje pewność, że lista jest pełna.