Wyznacz aₙ₊₁, a₂ₙ i aₙ₊₁ − aₙ dla ciągu aₙ = n² − 3n + 1

Zasada: w miejsce każdego $n$ we wzorze wstawiamy całe wyrażenie, ujęte w nawias.

Krok 1. Wyraz $a_{n+1}$.

$a_{n+1} = (n + 1)^2 - 3(n + 1) + 1 = n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 + 1 = n^2 - n - 1$

Krok 2. Wyraz $a_{2n}$.

$a_{2n} = (2n)^2 - 3 \cdot 2n + 1 = 4n^2 - 6n + 1$

Krok 3. Różnica $a_{n+1} - a_n$.

$a_{n+1} - a_n = (n^2 - n - 1) - (n^2 - 3n + 1) = n^2 - n - 1 - n^2 + 3n - 1 = 2n - 2$

Krok 4. Kontrola liczbowa. Wyrazy: $a_1 = -1$, $a_2 = -1$, $a_3 = 1$, $a_4 = 5$. Wzór z kroku 1 dla $n = 3$: $9 - 3 - 1 = 5 = a_4$. Wzór z kroku 2 dla $n = 2$: $16 - 12 + 1 = 5 = a_4$. Wzór z kroku 3 dla $n = 2$: $2 = a_3 - a_2$.

Odpowiedź. a) $a_{n+1} = n^2 - n - 1$; b) $a_{2n} = 4n^2 - 6n + 1$; c) $a_{n+1} - a_n = 2n - 2$.

Typowy błąd: $a_{n+1} = n^2 - 3n + 1 + 1$, czyli dodanie jedynki do wyrazu zamiast do numeru. Różnica z części c) przyda się w lekcji o monotoniczności ciągu: jest nieujemna dla każdego $n \geq 1$, więc ciąg jest niemalejący.