Półkula o polu powierzchni całkowitej 75π - promień i objętość

Krok 1. Z czego składa się powierzchnia półkuli. Kula przecięta płaszczyzną przez środek rozpada się na dwie półkule. Powierzchnia jednej z nich to:

• czasza - połowa sfery, o polu $\frac{1}{2} \cdot 4\pi R^2 = 2\pi R^2$,
• podstawa - koło wielkie o polu $\pi R^2$.

$$P_c = 2\pi R^2 + \pi R^2 = 3\pi R^2.$$

Krok 2. Promień.

$$3\pi R^2 = 75\pi \quad\Longrightarrow\quad R^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad R = 5.$$

Krok 3. Objętość. Półkula to połowa kuli:

$$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 125 = \frac{250}{3}\pi \approx 261{,}8.$$

Odpowiedź. $R = 5$, $V = \frac{250}{3}\pi$.

Pułapka. Najczęstszy błąd to przyjęcie, że pole półkuli to połowa pola kuli, czyli $2\pi R^2$ - to tylko czasza, bez koła podstawy. Wtedy wychodzi $R^2 = 37{,}5$ i zła objętość. Pole sfery i koło wielkie omawia lekcja kula i sfera.