Liczby z przestawienia cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5 - ile jest parzystych?

Krok 1. a) Wszystkie przestawienia minus te z zerem na początku. Sześć cyfr można ustawić na $6! = 720$ sposobów. Ale ciąg zaczynający się od zera, np. $013245$, nie jest liczbą sześciocyfrową. Ciągów z zerem na początku jest tyle, ile przestawień pozostałych pięciu cyfr: $5! = 120$.

$$6! - 5! = 720 - 120 = 600.$$

Krok 2. b) Gdzie jest problem. Liczba jest parzysta, gdy kończy się cyfrą $0$, $2$ lub $4$. Zero na końcu „rozwiązuje” jednocześnie zakaz zera na początku, więc ten przypadek liczymy osobno.

Krok 3. b) Przypadek I: na końcu $0$. Pozostałe $5$ cyfr ustawiamy na pięciu pierwszych miejscach dowolnie - zera już wśród nich nie ma:

$$5! = 120.$$

Krok 4. b) Przypadek II: na końcu $2$ lub $4$. Cyfrę jedności wybieramy na $2$ sposoby. Pierwsza cyfra nie może być zerem ani cyfrą jedności: zostają $4$ możliwości. Pozostałe $4$ cyfry (w tym zero) ustawiamy na czterech środkowych miejscach na $4!$ sposobów:

$$2 \cdot 4 \cdot 4! = 2 \cdot 4 \cdot 24 = 192.$$

Krok 5. b) Reguła dodawania.

$$120 + 192 = 312.$$

Sprawdzenie. Liczb nieparzystych powinno być $600 - 312 = 288$. Policzmy je wprost: na końcu $1$, $3$ lub $5$ ($3$ możliwości), na początku cyfra różna od zera i od ostatniej ($4$ możliwości), w środku $4!$: $3 \cdot 4 \cdot 24 = 288$. Zgadza się.

Odpowiedź. a) $600$ liczb; b) $312$ liczb parzystych.