Trójkąt prostokątny równoramienny w układzie współrzędnych - obwód i pole

Krok 1. Liczymy kwadraty długości boków. Wygodnie jest najpierw liczyć kwadraty - unikamy pierwiastków aż do końca:

$|AB|^2 = 4^2 + (-3)^2 = 25, \qquad |BC|^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad |AC|^2 = 7^2 + 1^2 = 50.$

Krok 2. Sprawdzamy, czy trójkąt jest prostokątny. Najdłuższy bok to $AC$. Zachodzi

$|AB|^2 + |BC|^2 = 25 + 25 = 50 = |AC|^2,$

więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży przy wierzchołku $B$ (naprzeciw najdłuższego boku).

Krok 3. Sprawdzamy, czy jest równoramienny. $|AB| = |BC| = 5$, więc przyprostokątne są równe.

Krok 4. Obwód. $|AC| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, zatem

$L = 5 + 5 + 5\sqrt{2} = 10 + 5\sqrt{2} \approx 17{,}07.$

Krok 5. Pole. W trójkącie prostokątnym pole to połowa iloczynu przyprostokątnych:

$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5.$

Odpowiedź. Trójkąt jest prostokątny (kąt prosty przy $B$) i równoramienny; obwód $10 + 5\sqrt{2}$, pole $12{,}5$.