Długość odcinka z parametrem - dla jakiego m odcinek ma daną długość

Krok 1. Zapisujemy warunek z kwadratem odległości.

$|AB|^2 = (2 - m)^2 + (-1 - 3)^2 = 25.$

Krok 2. Upraszczamy. $(-4)^2 = 16$, więc

$(2 - m)^2 = 9.$

Krok 3. Rozwiązujemy równanie. Liczba, której kwadrat wynosi $9$, to $3$ albo $-3$:

$2 - m = 3 \quad\Longrightarrow\quad m = -1, \qquad 2 - m = -3 \quad\Longrightarrow\quad m = 5.$

Krok 4. Sprawdzenie. Dla $m = -1$: $A = (-1, 3)$, $|AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Dla $m = 5$: $A = (5, 3)$, $|AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Oba punkty leżą na prostej $y = 3$, symetrycznie względem prostej $x = 2$.

Odpowiedź. $m = -1$ lub $m = 5$.