Pole wycinka w radianach - promień 8, kąt środkowy 3π/8

Krok 1. Wzory dla kąta w radianach. Gdy kąt $\alpha$ jest w radianach, cały kąt pełny to $2\pi$, więc wycinek stanowi $\frac{\alpha}{2\pi}$ koła. Stąd:

$P = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{2} r^2 \alpha, \qquad l = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\alpha.$

Krok 2. Pole wycinka.

$P = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \frac{3\pi}{8} = 32 \cdot \frac{3\pi}{8} = 12\pi \approx 37{,}70.$

Krok 3. Długość łuku.

$l = 8 \cdot \frac{3\pi}{8} = 3\pi \approx 9{,}42.$

Krok 4. Sprawdzenie w stopniach. Ponieważ $\pi$ rad to $180^\circ$:

$\frac{3\pi}{8} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{8} = 67{,}5^\circ, \qquad \frac{67{,}5^\circ}{360^\circ} = \frac{3}{16}.$

$P = \frac{3}{16} \cdot 64\pi = 12\pi, \qquad l = \frac{3}{16} \cdot 16\pi = 3\pi.$

Wyniki się zgadzają.

Uwaga: wstawienie radianów do wzoru „stopniowego” $\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$ daje bzdurę: $\frac{3\pi/8}{360} \cdot 64\pi \approx 0{,}66$. We wzorze z $360^\circ$ kąt musi być w stopniach, a we wzorze $\frac{1}{2} r^2 \alpha$ - w radianach.

Odpowiedź. $P = 12\pi \approx 37{,}70$, $l = 3\pi \approx 9{,}42$.