Pole odcinka koła - cięciwa w odległości 5 od środka koła o promieniu 10

Krok 1. Kąt środkowy. Odcinek $OM$ prostopadły do cięciwy dzieli ją na połowy i dzieli kąt $AOB$ na połowy. W trójkącie prostokątnym $OMB$:

$\cos\angle MOB = \frac{OM}{OB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \angle MOB = 60^\circ,$

więc kąt środkowy $\alpha = \angle AOB = 120^\circ$.

Krok 2. Długość cięciwy. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $OMB$:

$MB = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}, \qquad AB = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}.$

Krok 3. Pole wycinka o kącie $120^\circ$, czyli $\frac{1}{3}$ koła:

$P_{\text{wycinka}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 10^2 = \frac{100\pi}{3}.$

Krok 4. Pole trójkąta $AOB$. Podstawa $AB = 10\sqrt{3}$, wysokość $OM = 5$:

$P_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3}.$

Kontrola wzorem z sinusem: $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin 120^\circ = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$.

Krok 5. Pole odcinka = wycinek minus trójkąt:

$P = \frac{100\pi}{3} - 25\sqrt{3} \approx 104{,}72 - 43{,}30 = 61{,}42.$

Uwaga: samo pole wycinka ($\approx 104{,}72$) to nie odcinek koła - gdy w zadaniu jest cięciwa, trójkąt trzeba odjąć.

Odpowiedź. $AB = 10\sqrt{3}$, pole mniejszego odcinka koła $\frac{100\pi}{3} - 25\sqrt{3} \approx 61{,}42$.