Koło wpisane i opisane na trójkącie równobocznym o boku 6 - pola kół i pierścienia

Krok 1. Wysokość trójkąta.

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.$

Krok 2. Promienie. W trójkącie równobocznym środek $O$ obu okręgów dzieli wysokość w stosunku $2 : 1$, licząc od wierzchołka:

$R = \frac{2}{3} h = 2\sqrt{3}, \qquad r = \frac{1}{3} h = \sqrt{3}.$

Krok 3. Pola kół.

$P_{\text{opisanego}} = \pi R^2 = \pi \cdot 12 = 12\pi, \qquad P_{\text{wpisanego}} = \pi r^2 = 3\pi.$

Krok 4. Stosunek pól. $R = 2r$, a pola rosną z kwadratem promienia, więc

$\frac{12\pi}{3\pi} = 4 = 2^2.$

Uwaga: stosunek promieni to $2$, ale stosunek pól to $2^2 = 4$, nie $2$.

Krok 5. Pole pierścienia.

$P = \pi(R^2 - r^2) = \pi(12 - 3) = 9\pi \approx 28{,}27.$

Ciekawostka: bok trójkąta jest cięciwą dużego okręgu styczną do małego, a połowa tej cięciwy to $3$. Z twierdzenia Pitagorasa $R^2 - r^2 = 3^2$, stąd od razu $P = 9\pi$ - ta sama zależność co w pierścieniu z cięciwą styczną z lekcji.

Odpowiedź. Koło wpisane $3\pi$, koło opisane $12\pi$, stosunek pól $4 : 1$, pierścień $9\pi \approx 28{,}27$.