Koło wpisane w wycinek koła o kącie 60° i promieniu 9 - jaką część wycinka zajmuje

Krok 1. Gdzie leży środek koła. Środek $S$ jest jednakowo odległy od obu promieni, więc leży na dwusiecznej kąta wycinka. Dwusieczna dzieli kąt $60^\circ$ na dwa kąty $30^\circ$.

Krok 2. Odległość $OS$. Niech $r$ - promień szukanego koła, $T$ - punkt styczności z promieniem wycinka. Trójkąt $OTS$ jest prostokątny ($ST \perp OT$), a kąt przy $O$ ma $30^\circ$:

$\sin 30^\circ = \frac{ST}{OS} = \frac{r}{OS} \quad\Longrightarrow\quad OS = \frac{r}{\sin 30^\circ} = 2r.$

Krok 3. Styczność z łukiem. Koło dotyka łuku w punkcie leżącym na półprostej $OS$, dalej od $O$ o $r$ niż środek $S$. Ten punkt leży na łuku, więc jego odległość od $O$ to promień wycinka:

$OS + r = 9 \quad\Longrightarrow\quad 2r + r = 9 \quad\Longrightarrow\quad r = 3.$

Krok 4. Pola.

$P_{\text{koła}} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi, \qquad P_{\text{wycinka}} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 9^2 = \frac{81\pi}{6} = \frac{27\pi}{2}.$

Krok 5. Jaka część.

$\frac{9\pi}{\frac{27\pi}{2}} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}.$

Na części wycinka poza kołem zostaje $\frac{27\pi}{2} - 9\pi = \frac{9\pi}{2} \approx 14{,}14$.

Odpowiedź. Promień koła wpisanego $r = 3$; koło zajmuje $\frac{2}{3}$ pola wycinka ($9\pi$ z $\frac{27\pi}{2}$).