Ostrosłup prawidłowy sześciokątny - krawędź boczna pod kątem 60° do podstawy, objętość

Krok 1. Rzut krawędzi bocznej. Spodek wysokości $O$ jest środkiem sześciokąta foremnego. Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $a$, więc $|AO| = a = 4$. Rzutem krawędzi $SA$ jest $AO$, a kąt $\angle OAS = 60^\circ$.

Krok 2. Wysokość i krawędź boczna z trójkąta prostokątnego $AOS$:

$H = |AO| \operatorname{tg}60^\circ = 4\sqrt{3}, \qquad |SA| = \frac{|AO|}{\cos 60^\circ} = \frac{4}{1/2} = 8.$

Krok 3. Pole podstawy - sześć trójkątów równobocznych o boku $4$:

$P_p = 6 \cdot \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}.$

Krok 4. Objętość.

$V = \frac{1}{3} P_p \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 288 = 96.$

Odpowiedź. $H = 4\sqrt{3}$, krawędź boczna ma długość $8$, $V = 96$.