Przekątna graniastosłupa tworzy z podstawą kąt 30° - wysokość, krawędź podstawy i objętość

Krok 1. Trójkąt prostokątny z przekątną. Przekątna $AC_1$, jej rzut $AC$ (przekątna podstawy) i krawędź boczna $CC_1$ tworzą trójkąt prostokątny z kątem prostym przy $C$ i kątem $30^\circ$ przy $A$.

Krok 2. Wysokość i przekątna podstawy.

$H = |CC_1| = 12 \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6, \qquad |AC| = 12 \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}.$

Krok 3. Krawędź podstawy. Podstawa jest kwadratem, a przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$:

$a\sqrt{2} = 6\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6}.$

Krok 4. Objętość.

$V = a^2 \cdot H = (3\sqrt{6})^2 \cdot 6 = 54 \cdot 6 = 324.$

Odpowiedź. $H = 6$, $a = 3\sqrt{6}$, $V = 324$.