Kąt między krawędzią boczną ostrosłupa prawidłowego trójkątnego a podstawą

Krok 1. Gdzie jest spodek wysokości. Podstawa jest trójkątem równobocznym, a spodek $O$ wysokości ostrosłupa prawidłowego - jego środkiem. Środek trójkąta równobocznego leży na wysokości trójkąta w $\frac{2}{3}$ jej długości od wierzchołka, więc $|AO|$ to promień okręgu opisanego:

$|AO| = R = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.$

Krok 2. Kąt. Rzutem krawędzi $SA$ na podstawę jest $AO$, więc szukany kąt to $\alpha = \angle OAS$:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{|SO|}{|AO|} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 60^\circ.$

Krok 3. Krawędź boczna.

$|SA| = \sqrt{|SO|^2 + |AO|^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}.$

Sprawdzenie: $\cos 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

Odpowiedź. Krawędź boczna tworzy z podstawą kąt $60^\circ$ i ma długość $4\sqrt{3}$.