Kąt między przekątną ściany bocznej a podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Krok 1. Rzut przekątnej ściany. Krawędź $BB_1$ jest prostopadła do podstawy, więc rzutem odcinka $AB_1$ na podstawę jest krawędź $AB$. Szukany kąt to $\alpha = \angle BAB_1$ w trójkącie prostokątnym $ABB_1$ (kąt prosty przy $B$).

Krok 2. Tangens kąta.

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{|BB_1|}{|AB|} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 60^\circ.$

Krok 3. Długość przekątnej. $\cos 60^\circ = \frac{|AB|}{|AB_1|}$, więc $|AB_1| = \frac{4}{1/2} = 8$. Sprawdzenie z Pitagorasa: $\sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$.

Krok 4. Pole powierzchni całkowitej. Dwie podstawy to kwadraty $4 \times 4$, cztery ściany boczne to prostokąty $4 \times 4\sqrt{3}$:

$P_c = 2 \cdot 16 + 4 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 32 + 64\sqrt{3}.$

Odpowiedź. a) $\alpha = 60^\circ$, $|AB_1| = 8$; b) $P_c = 32 + 64\sqrt{3}$.