Kąt między przekątną sześcianu a płaszczyzną podstawy - tangens, sinus i miara kąta

Krok 1. Który kąt jest szukany. Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Krawędź $DD_1$ jest prostopadła do podstawy, więc rzutem punktu $D_1$ jest $D$, a rzutem przekątnej $BD_1$ - przekątna podstawy $BD$. Stąd $\alpha = \angle DBD_1$.

Krok 2. Długości boków trójkąta BDD₁. Kąt przy $D$ jest prosty.

$|BD| = 6\sqrt{2}, \qquad |DD_1| = 6, \qquad |BD_1| = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}.$

Krok 3. Funkcje trygonometryczne kąta α.

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{|DD_1|}{|BD|} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\alpha = \frac{|DD_1|}{|BD_1|} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Krok 4. Miara kąta. $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}7071$. Z tablic $\operatorname{tg}35^\circ \approx 0{,}7002$ i $\operatorname{tg}36^\circ \approx 0{,}7265$, więc $\alpha \approx 35^\circ$ (dokładniej $\alpha \approx 35{,}3^\circ$). Wynik nie zależy od długości krawędzi - w każdym sześcianie przekątna tworzy z podstawą ten sam kąt.

Odpowiedź. $|BD_1| = 6\sqrt{3}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\alpha \approx 35{,}3^\circ$.